Matematika

 

Matematika je formalna i egzaktna nauka koja je nastala izučavanjem figura i računanjem brojevima. Iako ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike, pod matematikom se u širem smislu podrazumeva nauka o količini (aritmetika), strukturi (algebra), prostoru (geometrija) i promeni (analiza). Matematika se razvila iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše merenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji. Te tri početne primene matematike mogu se dovesti u vezu sa grubom podelom matematike na izučavanje strukture, prostora i promena. U današnje vreme matematika uglavnom proučava i opisuje osobine struktura koje sama stvara ili koje potiču iz drugih nauka, a najčešće iz fizike.

 

Istorija matematike

Sve do kraja XVI veka glavne grane matematike bile su geometrija i aritmetika. U XVI veku započeo je razvoj algebre, a u XVII veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize. Nastale teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici. Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u XIX veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine daljeg razvoja matematike. Postojeće oblasti proširile su se u XX veku, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

 

Oblasti proučavanja

1) Aritmetika – grana matematike koja se bavi svojstvima brojeva i njihovim kombinovanjem putem sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja. U početku se bavila samo brojivim brojevima, ali se njena definicija proširila ne samo na racionalne brojeve nego i na iracionalne i kompleksne. Deljivost i teoreme prostih brojeva preklapaju se sa delovima teorije brojeva.

2) Algebra – bavi se proučavanjem matematičkih struktura, a obuhvata: kombinatoriku, teoriju brojeva, teoriju grupa, teoriju grafova, teoriju nizova, linearnu i osnovnu algebru. Osnovna pravila za aritmetičke operacije definisana su u osnovnoj algebri, a dodatna svojstva celih brojeva izučavaju se u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina dovelo je do razvoja apstraktne algebre, koja prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

3) Geometrija – izučavanje prostora započelo je geometrijom, koja obuhvata: osnovnu, diferencijalnu, algebarsku i fraktalnu geometriju, trigonometriju, topologiju i teoriju mera. Najpre je nastala euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije, koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija.

4) Analiza – bavi se proučavanjem beskonačno malih promena, a obuhvata: osnovnu, vektorsku, diferencijalnu i kompleksnu analizu, dinamičke sisteme i teoriju haosa. Teorija diferencijalnog računa razvijena je iz potreba prirodnih nauka za razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable jeste funkcija. Mnogi prirodni problemi vodili su uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su razvijene za opisivanje i proučavanje takvih problema izučavaju se u teoriji diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinuirane veličine jesu realni brojevi i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija predmet je matematičke analize. Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva, koji se izučavaju u kompleksnoj analizi.

 

Primenjena matematika

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema. Ona obuhvata:

• matematičku fiziku,

• dinamiku fluida,

• numeričku analizu,

• optimizaciju,

• teoriju verovatnoće,

• statistiku,

• kriptografiju,

• finansijsku matematiku,

• teoriju igara,

• matematičku biologiju,

• matematičku hemiju,

• matematičku ekonomiju,

• teoriju kontrole.

U važnije oblasti primenjene matematike spadaju verovatnoća i statistika, koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava.