Savršeni brojevi

Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svojih pozitivnih delilaca, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj. Prva četiri savršena broja poznata su od davnina, proučavali su ih pitagorejci još u VI veku pre n. e., a najraniji matematički zapis o savršenim brojevima pojavio se u Euklidovom delu Elementi, oko 300. pre n. e. Prva četiri savršena broja su:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Peti savršen broj, koji je otkriven 1456. godine, jeste 33 550 336. Do sada je otkriveno samo 49 savršenih brojeva, a poslednji od njih, koji je pronađen 7. januara 2016, u svom zapisu ima 44 677 235 cifara. Još nije poznato koliko ima savršenih brojeva – do sada nije utvrđeno da li ih ima beskonačno mnogo ili pak samo konačan broj.

Euklid je u svojoj knjizi pokazao da su do tada otkriveni savršeni brojevi oblika:

2^p−1 · (2^p − 1)

Pri tome, 2^p − 1 mora biti prost broj, a da bi to bio slučaj p mora biti prost broj. Na primer, prvih pet savršenih brojeva dobijaju se prema toj formuli na sledeći način:

• za p = 2:
2²⁻¹ · (2² − 1) = 2 · 3 = 6

• za p = 3:
2³⁻¹ · (2³ − 1) = 4 · 7 = 28

• za p = 5:
2⁵⁻¹ · (2⁵ − 1) = 16 · 31 = 496

• za p = 7:
2⁷⁻¹ · (2⁷ − 1) = 64 · 127 = 8128

• za p = 13:
2¹³⁻¹ · (2¹³ − 1) = 4096 · 8191 = 33550336

Prosti brojevi oblika 2^p − 1 nazivaju se Mersenovi prosti brojevi, po francuskom teologu i matematičaru Marinu Mersenu (1588–1648), koji je proučavao teoriju brojeva i savršene brojeve. Da bi broj oblika 2^p − 1 bio prost, p mora biti prost broj. Međutim, nisu svi brojevi tog oblika prosti ako je p prost broj. Na primer, za p = 11 dobija se 2¹¹ − 1 = 2047. Kako je 23 · 89 = 2047, to znači da taj broj nije prost. U stvari, Marsenovi prosti brojevi su veoma retki – od 9592 prosta broja p manja od 100 000, 2^p − 1 je prost broj za samo 28 njih.

Može se reći da ima onoliko parnih savršenih brojeva koliko ima Mersenovih prostih brojeva. Međutim, nije poznato da li Mersenovih prostih brojeva ima konačno ili beskonačno mnogo. Pretpostavlja se da tih brojeva ima beskonačno mnogo, a ako je to tačno, tada i parnih savršenih brojeva ima beskonačno mnogo. Trenutno je poznato onoliko savršenih brojeva koliko i Mersenovih prostih brojeva – 49.

Kada je reč o formuli koju je dao Euklid, treba spomenuti da je mnogo godina kasnije, tek u XVIII veku, švajcarski matematičar Leonard Ojler dokazao da su svi parni savršeni brojevi baš tog oblika. Svi do sada otkriveni savršeni brojevi su upravo parni, a nije poznato da li postoji ijedan neparan savršen broj. Do danas su, pomoću naprednih kompjuterskih sistema, ispitani svi brojevi do 10¹⁵⁰⁰, ali nije pronađen nijedan neparan savršen broj. Pretpostavlja se da takvih brojeva nema, mada to još niko nije uspeo da dokaže.

Osobine savršenih brojeva

Pored toga što predstavljaju zbir svojih pravih delilaca, savršeni brojevi poseduju i neke druge zanimljive osobine.

1. Svi savršeni brojevi predstavljaju zbir više uzastopnih prirodnih brojeva, počevši od broja 1 do 2^p − 1, npr.:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
• 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 31
• 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 127
• 33550336 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +…+ 8191

2. Zbir recipročnih vrednosti svih delilaca savršenog broja, uključujući i sam taj broj, jednak je broju 2, npr.:

• za broj 6: 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2
• za broj 28: 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2
• za broj 496: 1/496 + 1/248 + 1/124 + 1/62 + 1/31 + 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2
• za broj 8128: 1/8128 + 1/4064 + 1/2032 + 1/1016 + 1/508 + 1/254 + 1/127 + 1/64 + 1/32 + 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2

3. Osim broja 6, svi savršeni brojevi imaju i osobinu da se mogu prikazati kao zbir prvih 2^(p−1)/2 kubova neparnih brojeva, npr.:

• 28 = 1³ + 3³
• 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
• 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³
• 33550336 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³ +…+ 127³

4. Svi poznati savršeni brojevi završavaju se sa 6 ili 28.

5. Takođe, zanimljiv je i binarni zapis savršenih brojeva. Naime, svaki od njih u binarnom zapisu, shodno svom zapisu u obliku 2^p−1 · (2^p − 1), ima p jedinica i p − 1 nula, npr.:

• 6₁₀ = 110₂
• 28₁₀ = 11100₂
• 496₁₀ = 111110000₂
• 8128₁₀ = 1111111000000₂
• 33550336₁₀ = 1111111111111000000000000₂