Lagranžove tačke

 

U sistemu koji se sastoji od tri tela, od kojih jedno ima zanemarljivo malu masu u odnosu na preostala dva, postoji pet tačaka (Lagranžove tačke) u kojima su rezultante mehaničkih sila jednake nuli. Klasična mehanika, koju je postavio ser Isak Njutn, omogućuje da se na osnovu početnih parametara elemenata nekog mehaničkog sistema (koordinata, radijus-vektora, trajektorija, brzina) predvidi stanje sistema u proizvoljnom vremenskom trenutku. Sistem koji se sastoji od jednog tela jednostavan je za matematičko opisivanje, jer je to telo statično samo u odnosu na sebe. Sistem koji se sastoji od dva tela takođe je jednostavan – Keplerovi zakoni, mada empirijski definisani pre nego što su objašnjeni Njutnovom mehanikom, astronomima su najpoznatiji problem sa dva tela. Međutim, kad se sistem sastoji od tri tela (ili više njih) jednačine koje opisuju stanje sistema postaju u praksi znatno složenije za rešavanje.

Baveći se tim problemom kod sistema sa tri tela, tzv. problemom tri tela, italijansko-francuski matematičar i astronom Žozef-Luj Lagranž (1736–1813), pretpostavljajući da je trajektorija objekta određena putanjom koja minimalizuje akciju u vremenu, formulisao je novu verziju Njutnove mehanike koja je po njemu i dobila ime – Lagranžova mehanika. U njoj je posebno značajan problem tri tela, od kojih jedno ima zanemarljivo malu masu u poređenju sa preostala dva. Ta dva masivnija tela se moraju kretati kružno oko svog zajedničkog centra mase (težišta, baricentra) da ne bi pala jedno na drugo usled zajedničkog gravitacionog privlačenja. Pokazalo se da tada postoji tačno pet tačaka u kojima je rezultanta (vektorski zbir) svih mehaničkih sila jednaka nuli. Te tačke su precizno definisane i nazivaju se Lagranžovim tačkama. U daljem tekstu, dva velika masivna tela su označena sa A i B (pri čemu je masa tela A veća od mase tela B – mA > mB), malo telo zanemarljivo male mase je označeno sa C (ovo telo nije prikazano na slici jer može zauzimati različite položaje), a pet Lagranžovih tačaka sa L1, L2, L3, L4 i L5 (slika 1).

Dva masivna tela A i B rotiraju oko svog zajedničkog centra mase, dok telo C rotira oko jednog od ta dva tela i pritom se zajedno sa njim kreće oko baricentra sistema dvaju masivnijih tela. Na malo telo C tada deluje više sila. Pre svega, reč je o gravitacionim silama kojima tela A i B privlače to malo telo, i kojima se i sama međusobno privlače. Ako se ceo sistem posmatra sa tačke gledišta najmasivnijeg tela (iz referentnog sistema vezanog za telo A) vidi se da oko njega rotira telo B i to zajedno sa telom C, pa na to malo telo, uz prethodne gravitacione sile, deluje i centrifugalna sila. Sve te sile vektorski se sabiraju u svakoj tački prostora, a proračun pokazuje da postoji tačno pet tačaka u kojima je taj zbir jednak nuli. Telo C, kao i bilo koje drugo telo male mase, postavljeno u bilo koju od tih tačaka neće biti pod dejstvom nijedne mehaničke sile. Mada će biti u snažnom gravitacionom polju oba masivna tela, ukupna sila koja na njega deluje biće jednaka nuli. Zbog toga telo postavljeno u bilo koju Lagranžovu tačku može ostati u njoj beskonačno dugo.

 

lagranzove tacke slika

 

Položaj i primena Lagranžovih tačaka

Tačka L1 nalazi se na liniji koja spaja tela A i B, i to između njih. To je jedina tačka koja bi postojala i kad dva velika tela ne bi orbitirala oko baricentra, tj. kad bi mirovala. Koliko bi jedno telo vuklo malo telo C na jednu stranu, toliko bi i drugo telo vuklo malo telo C na drugu stranu.

Tačka L2 takođe se nalazi na liniji na kojoj se nalaze tela A i B, ali iza tela manje mase, tj. iza tela B.

Tačka L3 takođe se nalazi na liniji na kojoj se nalaze tela A i B, ali iza tela veće mase, tj. iza tela A.

Tačke L4 i L5 nalaze se u temenima jednakostraničnih trouglova koji imaju zajedničku osnovicu određenu centrima tela A i B, a u ravni orbite tih tela oko baricentra.

Budući da u Lagranžovim tačkama nema sila, one su veoma pogodne za postavljanje veštačkih satelita. Zbog nepostojanja sile sateliti bi u tim tačkama mogli ostati beskonačno dugo i to gotovo bez ikakve potrebe za korekcijom položaja. Na primer, u sistemu Sunce–Zemlja, u tački L1 nalaze se sateliti Advanced Composition Explorer (ACE), Genesis, International Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3) i Solar and Heliospheric Observatory (SOHO), a u tački L2 tog sistema Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP).

Prednosti Lagranžovih tačaka iskoristila je i sama priroda. Na primer, u sistemu Sunce–Jupiter postoji nekoliko hiljada asteroida smeštenih u tačkama L4 i L5 tog sistema (to su takozvani asteroidi Trojanci), dok se u sistemu Sunce–Neptun, takođe u tačkama L4 i L5 tog sistema, nalaze asteroidi nazvani Neptunovi trojanci.