Nula

 

Nula (0) čuvar je mesta u zapisu broja i nema nikakvu vrednost. Nula je paran broj i jedini realan broj koji nije ni pozitivan ni negativan. Pri sabiranju i oduzimanju je neutralan element. Budući da je broj nula kardinalnost praznog skupa, zavisno od definicije dopunjuje i skup prirodnih brojeva (kada se skupu prirodnih brojeva (N) doda nula, dobija se prošireni skup, koji se označava sa N0). U skupu celih brojeva, nula sledi minus jedan (−1) i prethodnik je broja jedan (1). Naziv potiče od latinske reči nullus, što znači „nijedan, ništa”.

Nula nije oduvek smatrana brojem. Ona se u početku nije pojavila kao brojevna vrednost, već kao cifra, i to kao posledica pojave pozicionih brojevnih sistema. Za razliku od, na primer, starog Rima (i rimskih brojeva), neke od starih civilizacija upotrebljavale su pozicione brojevne sisteme, u kojem pozicija svake cifre određuje njoj pripisanu brojevnu vrednost. Tako se u Vavilonu pozicioni brojevni sistem sa bazom 60 upotrebljava još od XIX veka pre n. e., Maje upotrebljavaju pozicioni sistem sa bazom 20, dok je u Indiji upotrebljavan dekadni sistem sa deset cifara. Iako koncept nule kao broja u početku nije bio poznat, sve su te kulture s vremenom razvile način upotrebe nule kao cifre. Naime, bez nule kao cifre nije moguće razlikovati, na primer, brojeve 11 i 101. Vavilonci su tu razliku tokom hiljadu godina prepuštali kontekstu u kojem se broj upotrebljavao, pre nego što su uveli oznaku za prazno poziciono mesto – dva gornja zareza. Maje su s vremenom praznu poziciju počeli obeležavati simbolom školjke, dok se u indijskom brojevnom sistemu, preteči današnjeg dekadnog sistema, prazna pozicija počela obeležavati znakom sličnim današnjoj nuli.

Prelaz sa nule kao cifre na nulu kao broj nije bio lak. Brojevi su se razvili kao način obeležavanja količine nekog skupa predmeta. Postavljalo se pitanje šta brojati ako nema predmeta. I šta bi, u tom kontekstu, trebalo da predstavljaju negativni brojevi. Tek oko 650. godine, Indijci počinju da razvijaju koncept nule kao broja. Tako se u spisima indijskih matematičara Bramagupte, Mahavira i Baskara mogu pronaći opisi interakcije nule (i negativnih brojeva) sa ostalim brojevima preko operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja. Kao izuzetno dostignuće treba izdvojiti razmatranja problema deljenja sa nulom, kao i prve rasprave o matematičkom konceptu beskonačnosti.

U XII i XIII veku, indijska koncepcija brojevnog sistema i nule kao broja širi se na zapad do arapskih zemalja, ali i na istok, u Kinu, gde dodatno proširuju znanje o operacijama sa nulom i sa negativnim brojevima. Preko arapskih prevoda i spisa, nula konačno dolazi i u Evropu. U zapadnu civilizaciju uvodi je Fibonači knjigom Liber abaci („Knjiga o računanju”), koja sadrži smelu istočnjačku ideju – da se i ništa može izbrojati. Leonardo iz Pize, u matematičkoj istoriji zapamćen kao Fibonači, predstavio je 1202. godine sasvim novi pogled na brojeve. Naime, on je u svojoj knjizi predstavio novi decimalni sistem zapisivanja brojeva pomoću deset simbola, koji se zovu cifre. Fibonači je do novog numeričkog sistema došao proučavanjem persijskih rukopisa i nazvao ga modus indorum (indijski metod), mada se on danas ustaljeno naziva arapski. S njim su se u Evropi prvi put pojavili jednocifreni i višecifreni arapski brojevi, koji će s vremenom istisnuti brojeve zapisane rimskim ciframa. Pored devet arapskih cifara u matematiku je tada ušla i deseta, nula, koja je označena kružićem. Nula se tako prvi put na Zapadu pojavila kao broj koji prethodi jedinici. Pre toga, u proračunima pomoću rimskih cifara nula se vekovima javljala kao nulla, što je značilo „ništa”, ali se nije smatrala brojem i zapisivala se kao reč.

Na Istoku je nula bila uobičajena stvar već vekovima. Indijski matematičari su znali za nju još u VII veku, a ideju je u IX veku preuzeo persijski matematičar Muhamed al Horezmi. Pa ipak, Fibonači nije imao dovoljno hrabrosti da tretira nulu na jednak način kao i ostale cifre, odnosno brojeve. Zapadnoj civilizaciji je trebalo još dugo vremena da prihvati nulu i kao cifru i kao broj. Čak trista godina nakon Fibonačijeve knjige, italijanski matematičar Đirolamo Kardano rešava kubnu jednačinu bez upotrebe nule, a koncept nule i negativnih brojeva u evropsku matematiku ulazi sporo i sa velikim otporima.