Proporcija

 

Količnik realnih brojeva a i b:

a : b = ab

naziva se razmera brojeva a i b.

Ako dve razmere, a : b i c : d, imaju istu vrednost, kaže se da one čine proporciju. Proporcija je, dakle, jednakost dveju razmera, što se zapisuje kao:

a : b = c : d

gde su:

a, b, c, d – članovi proporcije

Proporcija se rešava tako što se pomnože spoljašnji sa spoljašnjim i unutrašnji sa unutrašnjim članom proporcije:

a : b = c : d

a · d = b · c

 

Primeri zadataka

1. Ako 5 kg jabuka košta 230 dinara, koliko košta 9 kg jabuka?

Prvo treba zapisati podatke:

5 kg ………. 230 din.

9 kg ………. x din.

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

5 kg ………. 230 din.

9 kg ………. x din.

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 230. Za veću količinu jabuka potrebno je više novca. Dakle, x je veće od 230. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 9 i 5, od većeg ka manjem, tj. od 9 ka 5.

5 kg ………. 230 din.

9 kg ………. x din.

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 230 = 9 : 5

x · 5 = 230 · 9

x = 230 · 9 ∕ 5

x = 414

Potrebno je platiti 414 dinara.

 

2. Za 20 sekundi zvuk pređe 6800 metara. Koliki put zvuk pređe za 50 sekundi?

Prvo treba zapisati podatke:

20 s ………. 6800 m

50 s ………. x m

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

20 s ………. 6800 m

50 s ………. x m

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 6800. Za više vremena zvuk će preći duži put. Dakle, x je veće od 6800. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 50 i 20, od većeg ka manjem, tj. od 50 ka 20.

20 s ………. 6800 m

50 s ………. x m

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 6800 = 50 : 20

x · 20 = 6800 · 50

x = 6800 · 50 ∕ 20

x = 17000

Zvuk pređe 17000 metara.

 

3. Za 17 kg robe plaćeno je 510 dinara. Koliko se kilograma robe može kupiti za 3300 dinara?

Prvo treba zapisati podatke:

17 kg ………. 510 din.

x kg ………… 3300 din.

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

17 kg ………. 510 din.

x kg ………… 3300 din.

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 17. Za više novca može se kupiti više robe. Dakle, x je veće od 17. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 3300 i 510, od većeg ka manjem, tj. od 3300 ka 510.

17 kg ………. 510 din.

x kg ………… 3300 din.

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 17 = 3300 : 510

x · 510 = 17 · 3300

x = 17 · 3300 ∕ 510

x = 110

Može se kupiti 110 kg robe.

 

4. Od 8 kg brašna dobije se 10 kg hleba. Koliko je potrebno brašna za 45 kg hleba?

Prvo treba zapisati podatke:

8 kg ………. 10 kg

x kg ………. 45 kg

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

8 kg ………. 10 kg

x kg ………. 45 kg

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 8. Za veću količinu hleba potrebno je više brašna. Dakle, x je veće od 8. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 45 i 10, od većeg ka manjem, tj. od 45 ka 10.

8 kg ………. 10 kg

x kg ………. 45 kg

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 8 = 45 : 10

x · 10 = 8 · 45

x = 8 · 45 ∕ 10

x = 36

Potrebno je 36 kg brašna.

 

5. Ako dnevno radi 8 sati, radnik posao završi za 15 dana. Koliko sati dnevno radnik treba da radi da bi isti posao završio za 10 dana?

Prvo treba zapisati podatke:

8 h ………. 15 dana

x h ………. 10 dana

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

8 h ………. 15 dana

x h ………. 10 dana

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 8. Ako se smanji broj dana, radnik mora raditi više sati. Dakle, x je veće od 8. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 15 i 10, od većeg ka manjem, tj. od 15 ka 10.

8 h ………. 15 dana

x h ………. 10 dana

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 8 = 15 : 10

x · 10 = 8 · 15

x = 8 · 15 ∕ 10

x = 12

Radnik dnevno treba da radi 12 sati.

 

6. Prostorija je osvetljena sa 12 sijalica od 75 vati. Koliko sijalica od 100 vati daje isto osvetljenje?

Prvo treba zapisati podatke:

12 sij. ………. 75 W

x sij. ………… 100 W

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

12 sij. ………. 75 W

x sij. ………… 100 W

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 12. Ako su sijalice jače, manji broj njih daje isto osvetljenje. Dakle, x je manje od 12. To znači da strelica ide od manjeg broja ka većem, pa tako treba upisati strelicu i kod 75 i 100, od manjeg ka većem, tj. od 75 ka 100.

12 sij. ………. 75 W

x sij. ………… 100 W

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 12 = 75 : 100

x · 100 = 12 · 75

x = 12 · 75 ∕ 100

x = 9

Potrebno je 9 sijalica.

 

7. Petnaest radnika sazida zgradu za 8 dana. Za koliko dana bi bio gotov isti posao da je angažovano 20 radnika?

Prvo treba zapisati podatke:

15 rad. ………. 8 dana

20 rad. ………. x dana

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

15 rad. ………. 8 dana

20 rad. ………. x dana

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 8. Ako ima više radnika, biće im potrebno manje vremena da završe posao. Dakle, x je manje od 8. To znači da strelica ide od manjeg broja ka većem, pa tako treba upisati strelicu i kod 15 i 20, od manjeg ka većem, tj. od 15 ka 20.

15 rad. ………. 8 dana

20 rad. ………. x dana

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 8 = 15 : 20

x · 20 = 8 · 15

x = 8 · 15 ∕ 20

x = 6

Posao bi bio gotov za 6 dana.

 

8. Četiri cevi napune bazen za 135 minuta. Koliko vremena treba da se bazen napuni sa 6 cevi?

Prvo treba zapisati podatke:

4 cevi ………. 135 min.

6 cevi ………. x min.

Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

4 cevi ………. 135 min.

6 cevi ………. x min.

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 135. Ako ima više cevi, potrebno je manje vremena da se bazen napuni. Dakle, x je manje od 135. To znači da strelica ide od manjeg broja ka većem, pa tako treba upisati strelicu i kod 4 i 6, od manjeg ka većem, tj. od 4 ka 6.

4 cevi ………. 135 min.

6 cevi ………. x min.

Prati se smer strelica i pravi proporcija:

x : 135 = 4 : 6

x · 6 = 135 · 4

x = 135 · 4 ∕ 6

x = 90

Potrebno je 90 minuta.

 

9. Jedanaest radnika, radeći po 8 sati dnevno, zaradi 24000 dinara. Po koliko sati dnavno treba da radi 6 radnika da bi zaradili 36000 dinara?

Prvo treba zapisati podatke:

11 rad. ………. 8 h ………. 24000 din.

6 rad. ………… x h ………. 36000 din.

Ovo je takozvana produžena proporcija. Kod takve proporcije svaki podatak posmatra se posebno. Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

11 rad. ………. 8 h           24000 din. ………. 8 h

6 rad. ………… x h           36000 din. ……….. x h

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 8. U prvoj proporciji, manje radnika treba da radi duže, pa je x veće od 8. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 11 i 6, od većeg ka manjem, tj. od 11 ka 6. U drugoj proporciji, za više novca potrebno je više radnih sati, pa je x veće od 8. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 36000 i 24000, od većeg ka manjem, tj. od 36000 ka 24000.

11 rad. ………. 8 h ………. 24000 din.

6 rad. ………… x h ……….. 36000 din.

Prati se smer strelica i pravi proporcija (pažnja: znak = piše se ispod znaka =):

x : 8 = 11 : 6

        = 36000 : 24000

Sada se pomnože svi spoljašnji i svi unutrašnji članovi:

x · 6 · 24000 = 8 · 11 · 36000

x · 144000 = 3168000

x = 3168000 ∕ 144000

x = 22

Treba da rade 22 sata dnevno.

 

10. Radeći dnevno po 8 sati, 27 radnika za 4 dana napravi 600 elemenata. Koliko dana je potrebno da 36 radnika, radeći po 6 sati dnevno, napravi 900 elemenata?

Prvo treba zapisati podatke:

8 h ………. 27 rad. ………. 4 dana ………. 600 elem.

6 h ………. 36 rad. ………. x dana ………. 900 elem.

Ovo je takozvana produžena proporcija. Kod takve proporcije svaki podatak posmatra se posebno. Radi lakšeg rešavanja, stavi se strelica od x ka poznatoj veličini:

8 h ………. 4 dana           27 rad. ………. 4 dana           600 elem. ………. 4 dana

6 h ………. x dana           36 rad. ………. x dana           900 elem. ………. x dana

Zatim je potrebno zaključiti da li je x veći ili manji broj od 4. U prvoj proporciji, za manji broj radnih sati potrebno je više radnih dana, pa je x veće od 4. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 8 i 6, od većeg ka manjem, tj. od 8 ka 6. U drugoj proporciji, više radnika treba da radi manje dana, pa je x manje od 4. To znači da strelica ide od manjeg broja ka većem, pa tako treba upisati strelicu i kod 27 i 36, od manjeg ka većem, tj. od 27 ka 36. U trećoj proporciji, za više elemenata potrebno je više radnih dana, pa je x veće od 4. To znači da strelica ide od većeg broja ka manjem, pa tako treba upisati strelicu i kod 900 i 600, od većeg ka manjem, tj. od 900 ka 600.

8 h ………. 27 rad. ………. 4 dana ………. 600 elem.

6 h ………. 36 rad. ………. x dana ………. 900 elem.

Prati se smer strelica i pravi proporcija (pažnja: znak = piše se ispod znaka =):

x : 4 = 8 : 6

        = 27 : 36

        = 900 : 600

Sada se pomnože svi spoljašnji i svi unutrašnji članovi:

x · 6 · 36 · 600 = 4 · 8 · 27 · 900

x · 129600 = 777600

x = 777600 ∕ 129600

x = 6

Potrebno je 6 dana.