Kvadriranje dvocifrenih brojeva napamet

 

Uobičajeni postupak kvadriranja dvocifrenog broja (npr. broja 26) jeste:

262 = 26 · 26 = 26 · (20 + 6) = 26 · 20 + 26 · 6 = 520 + 156 = 676

To je jednostavan način, ali zahteva malo više vremena. Međutim, postoji jednostavniji i brži način za kvadriranje dvocifrenih brojeva napamet. To omogućava sledeća formula:

(x + r) · (x − r) + r2 = x2 − xr + rx − r2 + r2 = x2    (kad se skrati −xr i rx odnosno −r2 i r2, ostaje samo x2)

Kvadriranje broja 26 tim postupkom izgledalo bi ovako:

262 = (26 + 4) · (26 − 4) + 42 = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676

Data formula govori sledeće: broj koji se kvadrira, x, treba zaokružiti na njemu najbližu deseticu, u ovom slučaju 30, i to je x + r, a zatim izračunati x − r, tj. treba umanjiti broj x za vrednost zaokruživanja. Kad se izračuna (x + r) · (x − r), na tu vrednost dodaje se kvadrat vrednosti zaokruživanja, r2. Pošto r može imati vrednost 1, 2, 3 ili 4, r2 je uvek 1, 4, 9 ili 16.

To znači da se kvadrat svakog dvocifrenog broja može izračunati tako što se prvo pomnoži njemu najbliža desetica i odgovarajući dvocifreni broj (što je više nego lako, jer kad se nula prepiše na kraju, to množenje svodi se na množenje jednocifrenog i dvocifrenog broja), a zatim na dobijenu vrednost doda kvadrat vrednosti zaokruživanja (1, 4, 9 ili 16).

Primeri:

– 172 = 20 · 14 + 32 = 280 + 9 = 289

– 332 = 30 · 36 + 32 = 1080 + 9 = 1089

– 622 = 60 · 64 + 22 = 3840 + 4 = 3844

– 792 = 80 · 78 + 12 = 6240 + 1 = 6241

– 862 = 90 · 82 + 42 = 7380 + 16 = 7396

Za dvocifrene brojeve koji se završavaju na 5 princip je isti, ali je postupak još jednostavniji. Poslednje dve cifre uvek su 25, a prvu cifru treba pomnožiti brojem koji je za jedan veći od nje, na primer:

– 152 = 10 · 20 + 52 = 200 + 25 = 225    (1 · 2 = 2 i doda se 25)

– 252 = 20 · 30 + 52 = 600 + 25 = 625    (2 · 3 = 6 i doda se 25)

– 452 = 40 · 50 + 52 = 2000 + 25 = 2025    (4 · 5 = 20 i doda se 25)

– 652 = 60 · 70 + 52 = 4200 + 25 = 4225    (6 · 7 = 42 i doda se 25)

– 752 = 70 · 80 + 52 = 5600 + 25 = 5625    (7 · 8 = 56 i doda se 25)

Za brojeve od 91 do 99 može se raditi po istom principu, ali zaokruživanjem svih brojeva na 100 (umesto na 90 za brojeve od 91 do 94), postupak se još više uprošćava, na primer:

– 922 = 84 · 100 + 82 = 8400 + 64 = 8464

– 942 = 88 · 100 + 62 = 8800 + 36 = 8836

– 972 = 94 · 100 + 32 = 9400 + 09 = 9409

– 982 = 96 · 100 + 22 = 9600 + 04 = 9604

– 992 = 98 · 100 + 12 = 9800 + 01 = 9801

U suštini, od broja koji se kvadrira oduzme se razlika do 100 i zatim doda kvadrat te razlike. Pošto se zaokružuje na 100, kvadrat vrednosti zaokruživanja mora imati dve cifre u zapisu, što znači da je 12 = 01, 22 = 04, 32 = 09.

Uz malo vežbe, svaki dvocifreni broj može se kvadrirati napamet za manje od pet sekundi.