Prijateljski brojevi

 

Prirodni brojevi a i b su prijateljski brojevi ako je zbir pravih delilaca broja a (svih pozitivnih delilaca broja a, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj) jednak broju b i istovremeno zbir pravih delilaca broja b jednak broju a. Prijateljski brojevi poznati su od davnina, a prvi (najmanji) par prijateljskih brojeva čine 220 i 284. Pravi delioci broja 220 su 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110 (njihov zbir je 284). Pravi delioci broja 284 su 1, 2, 4, 71 i 142 (njihov zbir je 220).

Poznati francuski matematičar Pjer de Ferma pronašao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17296, 18416), a Rene Dekart, čuveni francuski matematičar i filozof, pronašao je 1638. godine par prijateljskih brojeva koji čine 9363584 i 9437056. Otkriće ta dva para predstavljalo je, u stvari, njihovo ponovno otkriće jer su oba para znatno ranije već bila poznata arapskim matematičarima. Ferma i Dekart su, zajedno, otkrili formulu za formiranje prijateljskih brojeva, ali se ona ne može primeniti na sve parove prijateljskih brojeva. Kasnije se, međutim, ispostavilo da je sličnu formulu, mnogo pre njih, još u IX veku, pronašao Tabit ibn Kora al-Harani, arapski matematičar i astronom. U XVIII veku, švajcarski matematičar Leonard Ojler uopštio je Fermaovu formulu (Ojlerova formula takođe se ne može primeniti na sve parove prijateljskih brojeva) i objavio spisak od 61 par prijateljskih brojeva, među kojima su dva para bila pogrešna. Šesnaestogodišnji Italijan Nikolo Paganini pronašao je 1866. godine drugi najmanji par prijateljskih brojeva (1184, 1210), koji su prevideli raniji matematičari i koji je znatno manji od Fermaovog para.

Prijateljski brojevi bili su poznati još pitagorejcima (matematičarima koji su živeli u VI veku pre nove ere), a iako se za njih znalo i pre nove ere, do 1946. godine je pronađeno samo 390 parova prijateljskih brojeva. Zahvaljujući pojavi kompjutera i njihovom brzom razvoju, do 16. avgusta 2016. pronađeno je čak 1 008 470 870 parova prijateljskih brojeva. Prvo mesto na listi zauzimaju brojevi 220 i 284, iza njih je Paganinijev par (1184, 1210), zatim dolaze 2620 i 2924, a Fermaov par je tek na osmom mestu. Danas su poznati svi parovi prijateljskih brojeva čiji se manji član nalazi ispod granice od 1018.

U svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba člana su parna ili, što je mnogo ređe, oba neparna. Nije poznato da li postoji mešoviti par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Takođe, nije poznata formula koja bi se mogla primeniti na sve parove prijateljskih brojeva, niti se zna da li takvih parova ima konačno ili beskonačno mnogo.