Sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate

 

Dve jednačine sa dve nepoznate kod kojih su rešenja tih nepoznatih ista čine sistem jednačina. Pod sistemom od dve linearne jednačine sa dve nepoznate, x i y, podrazumeva se:

a1 · x + b1 · y = c1

a2 · x + b2 · y = c2

To je takozvani prost sistem, gde su a1, b1, c1, a2, b2, c2 dati realni brojevi (ponekad i parametri). Rešenje sistema je uređeni par brojeva (x0, y0), za koji važi da je:

a1 · x0 + b1 · y0 = c1

a2 · x0 + b2 · y0 = c2

Ako u zadatku nije dat sistem u opštem obliku, potrebno ga je ekvivalentnim transformacijama svesti na taj oblik. U tom smislu, treba obratiti pažnju da se iste nepoznate uvek pišu jedne ispod drugih radi preglednosti i lakšeg snalaženja u sistemu. Tipovi ekvivalentnih transformacija za jednakost A = B su:

1) A + c = B + c,

2) Ac = Bc,

3) A · c = B · c,

4) A : c = B : c, c ≠ 0.

Sistemi jednačina mogu se rešiti pomoću više metoda: zamena, suprotni koeficijenti, grafički, determinante itd. Sve metode dovode do istog rešenja, a koja će se od njih koristiti zavisi od postavke zadatka (treba izabrati onu metodu koja se u datom zadatku učini najpogodnijom za rešavanje).

Sistemi jednačina kod kojih postoji samo jedno rešenje (tj. jedan uređeni par rešenja) nazivaju se određeni sistemi. Osim njih postoje i neodređeni sistemi (sistemi koji imaju beskonačno mnogo rešenja) i kontradiktorni (nemogući) sistemi (sistemi koji nemaju nijedno rešenje).

 

Metoda zamene

Postupak: izabrati jednu od dve date jednačine i iz nje izraziti jednu od nepoznatih preko druge nepoznate, a zatim tu nepoznatu u drugoj jednačini zameniti dobijenim izrazom. Na taj način dobija se jedna jednačina sa jednom nepoznatom.

Savet: prilikom odabira nepoznate treba izabrati onu koja ispred sebe ima koeficijent (broj) koji olakšava račun.

Primeri:

1. Zadatak jedan:

x + 3y = 25

2x − 5y = −27

U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti x iz prve jednačine.

x = 25 − 3y

2x − 5y = −27

Sada se prva jednačina prepisuje, a u drugoj umesto nepoznate x stavlja ono što je jednako x, a to je u ovom slučaju 25 − 3y. Na taj način druga jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.

x = 25 − 3y

2 · (25 − 3y) − 5y = −27

Izraz koji menja x je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 2, koji stoji uz x. Ostatak zadatka je običan račun.

x = 25 − 3y

50 − 6y − 5y = −27

x = 25 − 3y

50 − 11y = −27

x = 25 − 3y

−11y = −27 − 50

x = 25 − 3y

−11y = −77

x = 25 − 3y

y = −77/(−11)

x = 25 − 3y

y = 7          

Sada treba u prvoj jednačini umesto y napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. x.

x = 25 − 3 · 7

y = 7             

x = 25 − 21

y = 7          

x = 4

y = 7

Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (4, 7).

Provera:

Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

4 + 3 · 7 = 25

2 · 4 − 5 · 7 = −27

4 + 21 = 25

8 − 35 = −27

25 = 25

−27 = −27

 

2. Zadatak dva:

2x + 4y = 8

5x + y = −7

U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti y iz druge jednačine.

2x + 4y = 8

y = −7 − 5x

Sada se druga jednačina prepisuje, a u prvoj umesto nepoznate y stavlja ono što je jednako y, a to je u ovom slučaju −7 − 5y. Na taj način prva jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.

2x + 4 · (−7 − 5x) = 8

y = −7 − 5x                

Izraz koji menja y je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 4, koji stoji uz y. Ostatak zadatka je običan račun.

2x − 28 − 20x = 8

y = −7 − 5x          

−18x −28 = 8

y = −7 − 5x    

−18x = 8 + 28

y = −7 − 5x    

−18x = 36

y = −7 − 5x 

x = 36/(−18)

y = −7 − 5x 

x = −2

y = −7 − 5x

Sada treba u drugoj jednačini umesto x napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. y.

x = −2

y = −7 − 5 · (−2)

x = −2

y = −7 + 10

x = −2

y = 3   

Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (−2, 3).

Provera:

Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

2 · (−2) + 4 · 3 = 8

5 · (−2) + 3 = −7   

−4 + 12 = 8

−10 + 3 = −7

8 = 8

−7 = −7

 

Metoda suprotnih koeficijenata

Postupak: pomnožiti jednačine odgovarajućim brojem kako bi koeficijenti ispred jedne od nepoznatih u obe jednačine bili isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. Zatim sabrati date jednačine.

Savet: izabrati nepoznatu ispred koje su koeficijenti (brojevi) „laki” za račun.

Primeri:

1. Zadatak jedan:

2x + 3y = 34

8x − 6y = −8

Potrebno je da ispred jedne nepoznate budu isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. U ovom slučaju, najbolje je prvu jednačinu pomnožiti sa 2 (tako se uz y dobija 6 i −6).

2x + 3y = 34     /·2

8x − 6y = −8          

4x + 6y = 68

8x − 6y = −8

Sada treba sabrati te dve jednačine i izračunati nepoznatu x.

12x + 0y = 60

12x = 60

x = 60/12

x = 5

Kada se nađe jedno rešenje, treba se vratiti u jednu jednačinu (bilo koju) da bi se našlo drugo rešenje.

2x + 3y = 34

2 · 5 + 3y = 34

3y = 34 − 10

3y = 24

y = 24/3

y = 8

Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (5, 8).

Provera:

Zamenom ta dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

2 · 5 + 3 · 8 = 34

8 · 5 − 6 · 8 = −8

10 + 24 = 34

40 − 48 = −8

34 = 34

−8 = −8

 

2. Zadatak dva:

5x + y = −1

10x − 2y = 2

Prva jednačina množi se sa −2.

5xy = −1     /·(−2)

10x − 2y = −2          

−10x + 2y = 2

10x − 2y = −2

Sada se jednačine sabiraju.

0x + 0y = 0

0 = 0

To znači da je sistem jednačina neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja. Da bi se ta rešenja opisala, iz jedne od jednačina treba izraziti x ili y, zavisno od toga šta je lakše.

5x + y = −1

y = −1 − 5x

Sada su rešenja: (x, y) = (x, −1 − 5x); xR.

 

3. Zadatak tri:

9x + 15y = 6

−9x − 15y = 12

Jednačine se odmah sabiraju.

0x + 0y = 18

0 = 18

To znači da je sistem jednačina nemoguć, odnosno da nema rešenja.

 

4. Zadatak četiri:

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a

U ovom zadatku postoji parametar a. Postupak je isti.

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a     /·(−2)

ax − 10y = 15a

4ax + 10y = 10a

Sada se jednačine sabiraju i izračunava nepoznata x.

5ax + 0y = 25a

5ax = 25a

x = 25a/5a

x = 5

Napomena: a može da se skrati samo ako je a ≠ 0 (to je uslov).

Sada se x zameni u jednoj od jednačina (bilo kojoj) da bi se našlo y.

ax − 10y = 15a

5a − 10y = 15a

−10y = 15a − 5a

−10y = 10a

y = 10a/(−10)

y = −a

Rešenja su: (x, y) = (5, −a), uz uslov a ≠ 0.

Šta se dešava ako je a = 0?

Kada se ta vrednost zameni u početni sistem jednačina, dobija se:

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a  

0x − 10y = 15 · 0

0x + 5y = 5 · 0   

−10y = 0

5y = 0    

Ovde se vidi da je y = 0, a x može biti bilo koji broj. To znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja (y = 0, xR).

 

Grafička metoda

Postupak: nepoznate u svakoj od jednačina sistema su linearno zavisne, pa se svaka od njih može predstaviti grafički. To znači da je potrebno konstruisati grafike (prave) za svaku od datih jednačina.

Savet: radi jednostavnijeg konstruisanja grafika, nepoznatu y treba izraziti iz datih jednačina.

Primeri:

1. Zadatak jedan:

2x + 3y = 5

3x + y = −3

Prvo se iz prve jednačine izrazi y.

2x + 3y = 5

3y = −2x + 5

y = −2x/3 + 5/3

Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y, što se, najčešće, daje u vidu tabele. Potom se nacrta grafik za prvu jednačinu.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika1

 

Sada se iz druge jednačine izrazi y.

3x + y = −3

y = −3x − 3

Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y. Potom se nacrta grafik za drugu jednačinu.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika2

 

Rešenje sistema jednačina je tačka nastala u preseku pravih.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika3

 

Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (−2, 3).

 

2. Zadatak dva:

2xy = 3

−2x + y = 6

Prvo se iz prve jednačine izrazi y.

2xy = 3

y = 2x − 3

Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y, što se, najčešće, daje u vidu tabele. Potom se nacrta grafik za prvu jednačinu.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika4

 

Sada se iz druge jednačine izrazi y.

−2x + y = 6

y = 2x + 6

Sada se za najmanje dve vrednosti x izračuna vrednost y. Potom se nacrta grafik za drugu jednačinu.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika5

 

Rešenje sistema jednačina je tačka nastala u preseku pravih.

 

linearne jednacine sa dve nepoznate slika6

 

Prave su paralelne, tako da ne postoji presečna tačka. To znači da je sistem jednačina nemoguć, odnosno da nema rešenja.